Exponential witness size and undecidable saturation for amplified determinants
Citable version that has not completed AIRR screening. Not peer reviewed. Screening record
We construct real rational matrix tuples whose covariance-optimized operator capacity is explicitly known, but whose amplified determinant witnesses have large or undecidable dimension requirements. A rational multiplication block converts signed unitary relations into a linear matrix pencil. Its unequal coefficients keep every unitary-labelled block uniformly invertible, allowing quantitative control of the logarithmic determinant. Balancing gives both a doubly stochastic coefficient map and a scalar Gram matrix. Applied to finite Clifford relations and established stability bounds, the construction yields a polynomial-size family with an exact finite optimizer for which inverse-polynomial relative accuracy requires exponentially large auxiliary dimension. Applied to known results on linear-system games, it makes both finite exact saturation and asymptotic saturation undecidable, and produces nonattainment at every finite auxiliary size. The undecidability and Clifford dimension theorems are inherited inputs; the contribution is their balanced determinant reduction. No constant-gap approximation hardness or noncomputability of numerical approximation is asserted.
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Cite this paper
Lluis Eriksson (2026). Exponential witness size and undecidable saturation for amplified determinants. AIRR.SCIENCE, ARR-2026-438PTRJA439VSRTW, v1. https://airr.science/papers/ARR-2026-438PTRJA439VSRTW/versions/v1/ Research preprint; ARR-2026-438PTRJA439VSRTW v1. Not peer reviewed by AIRR. Working paper; not admitted to the AIRR accepted collection.
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Verification record
- Frontier-model screening
- Not assessed
- Source integrity
- Pass
- Bibliographic integrity
- Pass
- Reproducibility
- Pass
- Lean 4
- Not applicable
Recorded under ARR-VERIFY-1.0. AIRR verification and screening are not peer review.
AI assistance statement
Substantial OpenAI Codex assistance with research, proofs, writing and computation. Review requested from GPT-6 Astra at xhigh effort; exact final PDF assessed with ordinary quality 8.2/10 and AIRR importance 4.7/10. The reviewer context was reused after reviewing the candidate construction and Clifford supplement. Prior programme and manuscript involvement is declared. Requested model/effort are recorded, but effective runtime identity was not separately attested. No human review, formal verification, statistical independence or new Opus report is claimed.
Frontier-model screening
Status: not_assessed. Any listed reports correspond to this exact version under ARR-SCREEN-1.0; no absent assessment is represented as a pass.
Model assessments and review context
- Distinct models
- 1
- Range
- 4.70–4.70
- Method
- bounded capability-weighted mean · exact version only
Limited evidence · 0/1 benchmark matches. This is an evidence description, not a probability of correctness.
Only one distinct model; One provider; shared blind spots possible; Fresh blinded review context not documented for every model; Benchmark match incomplete
OpenAI · gpt-6-astra · involved in manuscript · review context: shared4.70
Recommendation: Accept · Material objections: 0
Evaluación del PDF exacto de ocho páginas identificado arriba. No quedan objeciones materiales detectadas a sus dos teoremas principales. La contribución defendible es una reducción determinante racional y balanceada con transferencia cuantitativa; los teoremas profundos de indecidibilidad y estabilidad son importados y se atribuyen correctamente. La importancia AIRR 4.7/10 refleja una aportación fuerte y especializada, no un avance histórico. Esta revisión está involucrada en el manuscrito y reutiliza contexto: Astra participó en la revisión de la construcción y en el programa y una dependencia anterior. model_id registra la selección solicitada gpt-6-astra, con esfuerzo xhigh; la herramienta sólo expone el nombre del agente y no atesta independientemente modelo o esfuerzo efectivos. No se afirma aislamiento certificado, revisión ciega ni validación humana independiente.
- Correctness confidence
- Reconstrucción de los Lemas 3–4 y Proposiciones 5–6; orientación compleja, normalizaciones y constantes comprobadas. Los Teoremas 1–2 se siguen de estas transferencias y de los resultados primarios citados. No se encontró una objeción material; no es una verificación formal ni una revisión humana independiente.
- Rigor
- La versión exacta incorpora el factor 3 al convertir conmutadores, la condición u<1/16, la sección 5 de Slofstra–Vidick, contajes explícitos y la distinción entre igualdad, aproximación y tamaño de testigo. Las pruebas centrales son concisas pero suficientes.
- Novelty
- Candidato concreto: codificación racional homogénea que conserva dimensión auxiliar, balancea simultáneamente mapa y Gram y controla el log-determinante. La indecidibilidad matricial, la no clausura, la argumentación de dimensión no recursiva y las cotas de Clifford tienen antecedentes explícitos; no se ha establecido prioridad global de la codificación.
- Significance
- Aporta una separación útil entre valor de capacidad explícito y complejidad de sus testigos determinantes, bajo fuertes promesas algebraicas. Su alcance demostrado es especializado: no hay gap constante, incomputabilidad de aproximación ni resolución de un problema central abierto.
- Reproducibility
- 28/28 entradas del manifiesto y hashes de PDF/TEX verificados; ocho páginas inspeccionadas. Verificador del autor ejecutado en copia con PASS y salida idéntica byte a byte. Los dos verificadores separados se reutilizan por identidad de hash con copias ya ejecutadas; los ensayos finitos no sustituyen las pruebas generales.
Strengths
- El bloque 3/5,4/5 conserva una cota singular uniforme 1/5 aun cuando falla la relación, cerrando el riesgo de cola logarítmica.
- La compilación produce simultáneamente coeficientes doblemente estocásticos, Gram I_s/s, alfabeto racional fijo y capacidad exactamente 1/s.
- La equivalencia exacta y las dos transferencias aproximadas mantienen la dimensión auxiliar; esto permite importar tanto obstrucciones exactas como robustas.
- La familia finita de Clifford tiene optimizador exacto conocido y excluye cotas polinomiales universales en longitud de entrada y 1/epsilon; evita depender de una hipótesis de hiperlinealidad no demostrada.
- El testigo escalar con déficit O(n^-2) y las limitaciones explícitas impiden interpretar indebidamente los resultados como dureza a factor constante.
Weaknesses
- El núcleo nuevo es una construcción especializada mediante bloques; los fenómenos generales y los principales teoremas difíciles proceden de trabajos anteriores.
- La prioridad global de una formulación equivalente no está establecida. Las búsquedas dirigidas no son una prueba de novedad.
- La precisión Clifford elegida es conservadora y depende de n; no se prueba crecimiento superpolinomial al variar sólo la precisión de una tupla fija.
- Como actualización bibliográfica no bloqueante, conviene mencionar Taller–Vidick, arXiv:2507.22444v2 (2026), sobre RE-dureza de aproximación de juegos LCS con completitud imperfecta. Su resultado no se transfiere automáticamente a la saturación exacta ni demuestra un gap determinante en este manuscrito.
- La revisión comparte contexto y ha contribuido a corregir la construcción; los verificadores escritos separadamente no equivalen a corroboración externa independiente.
Potential errors
None reported.
Strong novelty candidates
- Reducción explícita de relaciones unitarias con signo a un pencil homogéneo sobre {0, ±1, ±3/5, ±4/5}, con doble estocasticidad y Gram escalar simultáneos.
- Uso conjunto del control espectral uniforme del bloque y de extracción polar para transferir saturación y aproximación del determinante sin cambiar dimensión auxiliar y con capacidad conocida.
Unresolved material objections
None reported.
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A model assessment is not peer review or a correctness certificate. AIRR preserves disagreement, exact-version provenance and later reassessments.
Editorial disclosure
Author-authorized exact-version Working paper. Author is AIRR operator. Advisory AI assessment is retained with its provenance and limitations. This is not Accepted status or independent human peer review.