Constant-precision undecidability for amplified determinants with capacity one
Citable version that has not completed AIRR screening. Not peer reviewed. Screening record
We give a computable reduction from the halting problem to approximating a normalized determinant optimized over matrix coefficients of unrestricted auxiliary dimension. The coefficient matrices are real rational, orthonormal for normalized Hilbert--Schmidt inner product, and have covariance-optimized operator capacity exactly one. Nevertheless, approximating the determinant optimum to one fixed additive precision is undecidable. The proof combines the synchronous linear-game hardness theorem of Taller and Vidick with a homogeneous multiplication block, weighted rational normalization, and two quantitative rounding arguments. A positional-question normalization handles repeated queries without identifying distinct answer positions. No total recursive uniform bound on auxiliary witness dimension exists even at one fixed precision. The source hardness is inherited; the contribution is its determinant reduction. The gap constant is very small, and global priority is not certified.
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Cite this paper
Lluis Eriksson (2026). Constant-precision undecidability for amplified determinants with capacity one. AIRR.SCIENCE, ARR-2026-40S2JAQBBB8GJTN5, v1. https://airr.science/papers/ARR-2026-40S2JAQBBB8GJTN5/versions/v1/ Research preprint; ARR-2026-40S2JAQBBB8GJTN5 v1. Not peer reviewed by AIRR. Working paper; not admitted to the AIRR accepted collection.
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Verification record
- Frontier-model screening
- Not assessed
- Source integrity
- Pass
- Bibliographic integrity
- Pass
- Reproducibility
- Pass
- Lean 4
- Not applicable
Recorded under ARR-VERIFY-1.0. AIRR verification and screening are not peer review.
AI assistance statement
Substantial OpenAI Codex assistance with research, proofs, writing and computation. Final review requested from GPT-6 Astra at xhigh effort. Its initial assessment used a new agent without inherited conversation; the exact revised manuscript was then checked by that same agent in reused context. Exact PDF assessed with ordinary quality 8.5/10 and AIRR importance 4.0/10. Prior model-family participation in construction is declared. Requested model/effort and dispatch controls are recorded; effective runtime identity and saved-memory controls were not separately attested. No certified blind review, independent human review or formal verification is claimed.
Frontier-model screening
Status: not_assessed. Any listed reports correspond to this exact version under ARR-SCREEN-1.0; no absent assessment is represented as a pass.
Model assessments and review context
- Distinct models
- 1
- Range
- 4.00–4.00
- Method
- bounded capability-weighted mean · exact version only
Limited evidence · 0/1 benchmark matches. This is an evidence description, not a probability of correctness.
Only one distinct model; One provider; shared blind spots possible; Fresh blinded review context not documented for every model; Benchmark match incomplete
OpenAI · gpt-6-astra · involved in manuscript · review context: shared4.00
Recommendation: Accept · Material objections: 0
Recomiendo aceptar este manuscrito revisado identificado por el hash indicado. Las solicitudes A–D están resueltas y no se detectaron regresiones ni objeciones materiales. La brecha gamma=1/36288000000 y el corolario dimensional conservan el respaldo de la revisión matemática inicial, ahora contrastada con el diff exacto y las aclaraciones. La importancia se valora de nuevo en 4,0/10 porque el alcance científico verificado no ha cambiado. Esta comprobación reutiliza el contexto inicial y no es fresh_blind. GPT-6 Astra/xhigh es el modelo/esfuerzo solicitado, sin atestación independiente del runtime o de memoria; se conserva involved_in_manuscript por la participación previa de la familia del modelo.
- Correctness confidence
- La evaluación de la cadena de reducción y sus constantes se mantiene tras comprobar el diff exacto, los siete enunciados sin cambios y las nuevas fórmulas. Ambos verificadores pasan y reproducen los diagnósticos byte a byte. No se identifican objeciones materiales; se admiten los teoremas externos de complejidad y no se ofrece verificación formal.
- Rigor
- Las aclaraciones resuelven los puntos solicitados: reparto de puertas por relación, copia propia de padding, desigualdad de telescopado y Cauchy–Schwarz, definición de residuos y cómputo del factor 28. Se conserva el tratamiento correcto de matrices arbitrarias, supremos no alcanzados y expansión computable.
- Novelty
- La contribución identificable sigue siendo la transferencia con brecha constante al objetivo determinantal mediante pesos cuadrados racionales, singletons y errores promediados. El bloque básico y la indecidibilidad tracial tienen antecedentes. La revisión no añade un teorema nuevo y la búsqueda inicial no certifica prioridad mundial.
- Significance
- Resultado fuerte y especializado: incluso con capacidad optimizada exactamente uno, aproximar este objetivo determinantal a una precisión fija es indecidible. La constante diminuta y la ausencia de nuevas consecuencias generales limitan su alcance; no hay base para una calificación de impacto excepcional o histórico.
- Reproducibility
- Coinciden las trece entradas del manifiesto; se inspeccionaron las diez páginas. Se ejecutaron en copia ambos verificadores, incluyendo 1024 casos posicionales exactos, 120 matriciales y duplicación racional de 14 filas en 64. Sigue sin implementarse la reducción completa máquina→juego, y las pruebas finitas no certifican el límite dimensional.
Strengths
- La fuente síncrona se utiliza con las convenciones y constantes adecuadas, sin asumir igualdad con el valor cuántico irrestricto.
- La normalización ponderada mantiene racionalidad, dimensión escalar lineal en R y control uniforme de las distancias polares de las etiquetas.
- El bloque uniformemente invertible permite controlar el determinante logarítmico y la dirección inversa parte de matrices complejas arbitrarias.
- La nueva formulación muestra por qué cada error de padding se cobra a una sola relación, haciendo auditable el coeficiente 18+12sqrt(2)<35.
- La capacidad uno se certifica con una covarianza explícita y se distingue del carácter biestocástico del tuple intermedio.
- Las revisiones incorporan diagnósticos posicionales reproducibles y delimitan que ninguno implementa la reducción completa desde máquinas.
Weaknesses
- La novedad es específica de esta transferencia determinantal; la fuente de dureza, el bloque básico y el fenómeno general de no computabilidad son antecedentes.
- La constante de brecha es muy pequeña y el trabajo no demuestra un umbral numérico práctico ni una aplicación de amplio impacto.
- Los diagnósticos matriciales son finitos y de coma flotante; la expansión máquina→juego y los teoremas externos no se verifican mediante el código suministrado.
- El LEEME del paquete de revisión menciona material construction-review excluido de este paquete. El operador declara que estará en el paquete público; esa inclusión no se ha verificado aquí y no afecta a la prueba del manuscrito.
- La revisión de cambios reutiliza el contexto inicial y procede de una familia de modelo involucrada en la construcción; no constituye validación humana o aislamiento independiente certificado.
Potential errors
None reported.
Strong novelty candidates
- Transferencia de una brecha fija de juegos síncronos a un determinante homogéneo sobre matrices complejas arbitrarias, con coeficientes reales racionales, Gram normalizado identidad y capacidad optimizada uno.
- Normalización racional mediante pesos cuadrados y una fracción uniforme de singletons, junto con copias de padding por relación, que evita la pérdida dimensional del argumento inverso anterior.
Unresolved material objections
None reported.
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Editorial disclosure
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