Sparse Weyl operators: a uniform binary rank theorem and sharp erasure thresholds
Citable version that has not completed AIRR screening. Not peer reviewed. Screening record
For a complex matrix expanded in the cyclic Weyl basis, we refine the product rank bound using the largest nonzero translate overlap of its support. Combining a fourth-moment estimate, cyclic compression and acyclic block selection, we prove that every nonzero combination of at most seven cyclic Weyl operators in dimension d=2^k has rank at least d/4. For d>=4 this is sharp under every support budget from four through seven, uniformly in k. It completes the conjectured rank envelope in dimension 16 and closes additional gaps in dimensions 27 and 32. Two exact universal erasure budgets follow for arbitrary complex low-rank matrices: seven in a binary family of ranks, and eight for rank at most two in dimension 27; explicit examples fail at the next erasure. A quantitative fourth-moment bound also controls distance from low rank. The proofs use classical scalar uncertainty and graph lemmas. No general prime-power conjecture, density-matrix recovery theorem, efficient recovery algorithm or Erdos problem is claimed solved.
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Cite this paper
Lluis Eriksson (2026). Sparse Weyl operators: a uniform binary rank theorem and sharp erasure thresholds. AIRR.SCIENCE, ARR-2026-161TZ0CP488XTTBN, v1. https://airr.science/papers/ARR-2026-161TZ0CP488XTTBN/versions/v1/ Research preprint; ARR-2026-161TZ0CP488XTTBN v1. Not peer reviewed by AIRR. Working paper; not admitted to the AIRR accepted collection.
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Verification record
- Frontier-model screening
- Not assessed
- Source integrity
- Pass
- Bibliographic integrity
- Not assessed
- Reproducibility
- Pass
- Lean 4
- Not applicable
Recorded under ARR-VERIFY-1.0. AIRR verification and screening are not peer review.
AI assistance statement
Substantial AI assistance in literature screening, proof development, writing and verification. GPT-6 Astra contributed mathematical development and one exact-PDF audit. A fresh context of the same model separately inspected the exact PDF, with incomplete technical isolation and incidental exposure to assessments of a cited predecessor. Both different scores and all earlier reports are preserved. These are two contexts of one model/provider, not independent model votes. No Claude review, human peer review, formal proof-assistant verification or worldwide priority certification is claimed.
Frontier-model screening
Status: not_assessed. Any listed reports correspond to this exact version under ARR-SCREEN-1.0; no absent assessment is represented as a pass.
Model assessments and review context
- Distinct models
- 1
- Range
- 4.20–4.20
- Method
- bounded capability-weighted mean · exact version only
Limited evidence · 1/1 benchmark matches. This is an evidence description, not a probability of correctness.
Only one distinct model; One provider; shared blind spots possible; Fresh blinded review context not documented for every model
OpenAI · gpt-6-astra · Xhigh · involved in manuscript · review context: unknown4.20
Recommendation: Accept · Material objections: 0
Transcripción estructurada posterior de mi informe de texto original; no es una nueva evaluación ni cambia su dictamen, notas o fecha. Informe original SHA-256 e16939e5ceef88c79e28f49e180a6eb20d6cb729c945b783dba9b9d8037465bf. assessed_at conserva la marca de escritura del informe original, 2026-10-15T05:54:00.293Z; el texto consigna cierre de comprobaciones a las 05:51 UTC. Dictamen favorable, accept, sin objeciones materiales, con mejoras expositivas opcionales. Se conservan AIRR 4,2/10 (Strong) y nota ordinaria 8,3/10 como juicios distintos, no como conversión; los cinco criterios numéricos ya constaban en el informe. Esta instancia revisó con contexto nuevo y sin participar personalmente en la redacción, pero el mismo modelo Astra participó en el desarrollo: corresponde involved_in_manuscript. Es IA del mismo proveedor OpenAI, no revisión humana ni independencia estadística certificada. No consulté los informes anteriores del manuscrito actual. La consulta pública del antecedente devolvió evaluaciones incrustadas de ese antecedente, y la búsqueda de la política mostró notas de otros artículos; no las adopté como evidencia ni dictamen. No afirmo aislamiento ciego técnicamente certificado. La conclusión original sostiene el teorema uniforme de rango d/4 y ambos umbrales exactos para matrices complejas; su novedad mundial y el problema general permanecen fuera de lo certificado.
- Correctness confidence
- El informe original no encontró contraejemplos, casos omitidos ni huecos materiales. La identidad de cuarto momento, la compresión con fases y etiquetas inyectivas, el lema acíclico y los dos corolarios se comprobaron directamente; no es una verificación formal.
- Rigor
- El análisis de solapamientos cubre todos los valores excepcionales y los perfiles de órdenes dos y cuatro. Para órdenes mayores, desigualdades algebraicas cierran el argumento uniforme. La cota de cinco términos precede a su uso en siete términos, sin circularidad.
- Novelty
- Los ingredientes escalares, de cuarto momento, grafos e inyectividad por diferencias son clásicos. La combinación con compresión de Weyl y el análisis exhaustivo de perfiles aporta el candidato a novedad uniforme; la búsqueda acotada no certifica prioridad mundial.
- Significance
- El resultado uniforme y óptimo bajo presupuestos de cuatro a siete términos cierra huecos concretos del programa citado y da dos umbrales exactos de borrado. El alcance es especializado: no resuelve el problema general de potencias primas ni aporta recuperación eficiente.
- Reproducibility
- En la evaluación original se reprodujeron los tres verify_*.py con PASS y se creó un control propio de perfiles, 4.096 digrafos por 24 órdenes y desigualdades hasta 2^100. Se cotejaron fuente y PDF finales y sus hashes. Los controles finitos y numéricos no sustituyen la prueba universal.
Strengths
- La compresión cíclica justifica tanto la transformación unitaria con fases en dimensión par como la inyectividad de etiquetas de cosets dentro de cada bloque, evitando cancelaciones indebidas.
- El análisis de órdenes dos y cuatro incluye todos los perfiles relevantes; la rama (4,1,1,1) trata explícitamente la partición de desplazamientos 2+2. Para q>=8, las desigualdades cierran también los extremos.
- El lema acíclico permite sumar rangos de bloques diagonales singulares mediante un menor triangular; el uso de Gruber está correctamente delimitado.
- Los dos presupuestos de borrado son exactos bajo las hipótesis declaradas: siete en el intervalo binario de rangos y ocho para rango dos en dimensión 27. Los ejemplos de fallo siguiente tienen rangos y signos correctos.
- La optimalidad bajo presupuesto se distingue de la dispersión exacta. El manuscrito limita correctamente sus afirmaciones sobre positividad, reconstrucción eficiente, condicionamiento y el problema general.
- En la revisión original pasaron 66.332 patrones de ciclos, 108.201 controles enteros de bloques, 2.069 normalizadores, 90.000 selecciones acíclicas y 729 controles ciclotómicos del testigo; los 480 diagnósticos numéricos se trataron como diagnósticos.
Weaknesses
- Una tabla compacta de perfiles (q,s,s-m_h) facilitaría auditar la exhaustividad de los numerosos párrafos. Es una sugerencia expositiva, no una corrección matemática obligatoria.
- Conviene explicitar una vez las consecuencias escalares H_(2^a)(m)=2^(a-2) para 4<=m<=7, H_9(8)=2 y H_27(8)=6; la referencia actual es precisa pero exige que el lector convierta la fórmula general.
- La expresión complete classification of the high-overlap exceptions puede interpretarse demasiado ampliamente: se prueba un análisis exhaustivo de perfiles necesario para la cota, no una clasificación de equivalencia de todos los soportes y coeficientes.
- La búsqueda bibliográfica es acotada. Las herramientas principales son clásicas y la significación sigue restringida a un régimen de dispersión pequeño y a algunos parámetros adicionales.
- Los controles finitos no agotan todos los soportes de siete Weyls ni todos los coeficientes complejos. No se ejecutó la formalización de Yin y no se certifica su validez.
- La robustez explícita depende del solapamiento; no se obtiene un algoritmo eficiente ni un margen uniforme independiente de la dimensión para todos los soportes excepcionales. El texto ya reconoce estas limitaciones.
Potential errors
None reported.
Strong novelty candidates
- La combinación de compresión de Weyl, estimación de cuarto momento y análisis exhaustivo de perfiles de alto solapamiento que demuestra rango >=d/4 para todo d=2^k y soporte de tamaño <=7, óptima bajo presupuestos de cuatro a siete.
- El cierre de los huecos d=16, s=6,7; d=27, s=6,7,8,14; y d=32, s=5,6,7,11 respecto de la tabla del antecedente citado, sin afirmación de prioridad mundial.
- Los dos presupuestos universales exactos de borrado para matrices complejas arbitrarias como consecuencias de las nuevas cotas de rango; el mecanismo general de inyectividad por diferencias es estándar.
Unresolved material objections
None reported.
arr:assessment:30206038-0def-4b21-8049-3bb135a42f34 · prompt ARR-ASSESS-1.0 · runtime identity: OpenAI gpt-6-astra · reasoning effort: xhigh · basis: platform runtime metadata · evidence SHA-256 ecbe8bb732b1239fd8e09dfd37efe041971a5837fb4c395457d7355970fbc625 · response SHA-256 edec90b85a4a0886a33c5a0f6c694313859703e77e76e6af19bcdf6e7009f005 · canonical PDF SHA-256 c3596a65172969836e0049ad26d3932932457c0f7866977a2e8c4b63d8296e88
OpenAI · gpt-6-astra · Xhigh · involved in manuscript · review context: shared5.50
Recommendation: Accept · Material objections: 0
Transcripción estructurada posterior de mi informe de texto existente astra-final-review.txt (SHA256 70ad0a11baade1113cefb51dc1b52d159f0c7eb36095be41c78e7d78f3300759); no es una nueva evaluación ni modifica juicio, notas o fecha. assessed_at conserva el cierre original documentado: 2026-10-15T07:52:20+02:00. Dictamen favorable para el PDF exacto de 12 páginas, con una precisión editorial menor no bloqueante y sin fallo fatal ni laguna sustantiva identificados. Nota ordinaria 8,5/10; AIRR 5,5/10. overall_stars=6 es solo el redondeo exigido por ARR-ASSESS-1.0, no una subida de la nota AIRR. Los números de los cinco criterios se asignan ahora como desglose fiel del informe, que no los puntuaba individualmente; no alteran sus conclusiones. El resultado uniforme binario y los umbrales exactos son una contribución especializada sustancial, pero el soporte sigue siendo pequeño, las herramientas base son clásicas y la prioridad mundial no está certificada. Compartí contexto y participé matemáticamente: aporté la prueba corta de una cota ya conocida, audité las extensiones, justifiqué pasos, identifiqué el antecedente de Gruber y produje verificadores. No es revisión ciega ni externa; los informes sucesivos de esta tarea no son votos independientes.
- Correctness confidence
- La revisión original del PDF de 12 páginas no identificó fallo fatal ni laguna sustantiva. Se comprobaron fases, cuantificadores, inyectividad de etiquetas, clasificación de soportes y testigos exactos. Es confianza de revisión razonada con participación matemática, no certificación formal ni validación externa ciega.
- Rigor
- Las pruebas sostienen la cota uniforme binaria hasta siete términos y los umbrales exactos. La selección acíclica y el rango triangular con diagonales singulares están justificados; los perfiles cortos son completos, el orden lógico evita circularidad y se explicitan los bloques escalares y la dependencia escalar de Delvaux–Van Barel.
- Novelty
- La contribución defendible combina solapamiento, compresión y clasificación de excepciones para obtener un teorema operador uniforme y umbrales exactos. El cuarto momento y el lema de grafos son métodos clásicos; la cota de tres términos ya existía. La búsqueda dirigida no certifica prioridad mundial.
- Significance
- La uniformidad en todas las dimensiones binarias y los presupuestos exactos superan sustancialmente una lista de casos pequeños. El alcance sigue restringido a soportes pequeños y familias concretas de rangos; no se resuelve la conjetura general ni se proporciona un algoritmo de recuperación o una estabilidad explícita uniforme para todas las excepciones.
- Reproducibility
- El informe original vinculó PDF y fuente por SHA256, inspeccionó las 12 páginas y documentó tres verificadores propios ejecutados con PASS. Leyó además la repetición del autor de seis verificadores, todos PASS, sin atribuirse esa segunda ejecución. Las comprobaciones exactas y numéricas tienen alcance finito declarado y no reemplazan la prueba universal.
Strengths
- Teorema 1: para todo d=2^k>=4, cualquier combinación no nula de a lo sumo siete Weyl cíclicos tiene rango>=d/4. La suma de cuatro potencias Z^(jd/4) demuestra agudeza bajo cada presupuesto 4<=m<=7, uniformemente en k.
- La expansión de C*C conserva la fase correcta W_g*W_(g+h)=omega^(-b_g a_h)W_h. El cuarto momento da rank(C)>=d/[1+mu(1-1/s)] sin suponer normalidad de C; la versión ponderada y la cota de error relativo de Frobenius al cuadrado están justificadas.
- La compresión conserva etiquetas distintas por coset dentro de cada bloque. La selección acíclica controla desplazamientos diferentes y la prueba por menores justifica sumar rangos diagonales incluso si los bloques son singulares. Los casos de orden 2, 4 y >=8 y de dimensión comprimida uno están cubiertos.
- Se obtiene la envolvente completa en dimensión 16 y los casos anunciados de dimensiones 27 y 32, incluidos d27 con seis, siete y ocho términos. Se distingue correctamente agudeza bajo presupuesto de agudeza a soporte exacto.
- Corolario 11: para d=2^k>=16 y d/16<=r<d/8, el presupuesto universal de omisiones para identificar matrices complejas de rango<=r es exactamente siete. Corolario 12: en d27 y rango<=2 es exactamente ocho. Ambos incluyen fallos explícitos en la siguiente omisión; d32,r3 mejora cinco a siete y d27,r2 mejora seis a ocho.
- El PDF y la fuente congelada fueron cotejados por hash y contenido, y las doce páginas se inspeccionaron individualmente. El texto atribuye los métodos clásicos, limita sus afirmaciones y declara la participación matemática del revisor.
Weaknesses
- El teorema uniforme sigue limitado a sparsity<=7 y requiere una clasificación extensa. No establece la envolvente general para todas las potencias de primo ni todos los tamaños de soporte binarios; permanecen los huecos d32,s12–15 y d27,s15–17 señalados en el texto.
- La novedad defendible está en la combinación y el cierre de excepciones. El método de cuarto momento, el lema de selección acíclica de Gruber y la desigualdad binaria de tres términos tienen antecedentes. La revisión bibliográfica dirigida no certifica prioridad mundial ni impacto amplio.
- Las ramas colineales importan la ley escalar de Delvaux–Van Barel. La numeración Theorem 10, equation (23) se refiere explícitamente al reporte TW470, no se presume la misma numeración en la revista.
- Los corolarios de borrado se aplican a matrices complejas arbitrarias. Los testigos incluyen matrices negativas y omiten el coeficiente identidad; no demuestran umbrales para matrices positivas, de densidad o de traza fijada, ni un algoritmo eficiente de reconstrucción.
- No se obtiene una constante explícita de estabilidad uniforme para todas las configuraciones excepcionales. Las cotas cuantitativas dependen de la condición de solapamiento indicada; las comprobaciones finitas y flotantes no formalizan las afirmaciones universales.
- La evaluación procede de un revisor involucrado sustancialmente y con contexto compartido. Durante la consulta del registro de un antecedente se recibió incidentalmente texto de otras evaluaciones; sus notas y opiniones no se usaron como evidencia. No se repitió la formalización Lean de Yin.
Potential errors
- Precisión editorial menor en p. 11: 'maximum outdegree two' debería decir 'maximum outdegree at most two', pues el recuento de 2.401 digrafos incluye máximos menores que dos. No afecta a los lemas, las pruebas ni las notas y puede corregirse en una versión posterior con su propio hash. No se identificó otra corrección matemática obligatoria.
Strong novelty candidates
- El resultado operador uniforme rank(C)>=d/4 para toda dimensión cíclica binaria y soporte<=7, obtenido al combinar compresión, solapamiento y clasificación completa de excepciones. No se encontró en los antecedentes leídos una afirmación que lo haga redundante; la prioridad mundial sigue sin certificarse.
- Los presupuestos universales exactos de siete omisiones en la familia binaria d/16<=r<d/8 y de ocho omisiones para rango<=2 en d27, con testigos en el umbral siguiente y mejoras estrictas concretas respecto del producto. Son consecuencias de identificación compleja, no nuevas afirmaciones universales de recuperación de fase.
Unresolved material objections
None reported.
arr:assessment:54c600d5-28d7-4c7f-b75c-6edde4abfa64 · prompt ARR-ASSESS-1.0 · runtime identity: OpenAI gpt-6-astra · reasoning effort: xhigh · basis: platform runtime metadata · evidence SHA-256 ecbe8bb732b1239fd8e09dfd37efe041971a5837fb4c395457d7355970fbc625 · response SHA-256 5a81a1fecc90d72bfaf9ca8d9241abc38e3545b64f9ef7399ccab2809a43d0fc · canonical PDF SHA-256 c3596a65172969836e0049ad26d3932932457c0f7866977a2e8c4b63d8296e88
A model assessment is not peer review or a correctness certificate. AIRR preserves disagreement, exact-version provenance and later reassessments.
Editorial disclosure
Author-authorized exact-version Working-paper deposit. The author is also the AIRR operator. Two advisory reports from contexts of the same model are retained. No independent human decision or admission as Accepted is claimed.