Sharpness of the universal capacity bound for amplified determinants
Citable version that has not completed AIRR screening. Not peer reviewed. Screening record
For a finite tuple of square complex matrices, let F_infinity be the supremum of the normalized determinant over all matrix amplifications and Hilbert-Schmidt unit coefficient tuples, and let C be the maximum operator capacity over coefficient covariances of trace one. The previously established comparison C/e <= F_infinity <= C has the optimal universal constant: we construct finite tuples with C/F_infinity arbitrarily close to e. The tuples may have exactly identity Hilbert-Schmidt Gram matrix; their capacities tend to one and their amplified determinant values tend to e^(-1). The construction uses independent complex Gaussian coefficients with a fixed number of coefficients before the matrix dimension tends to infinity. A balance property of determinant maximizers makes polynomial moment comparison uniform over every amplification. A separate cut criterion turns Gaussian expansion estimates into a dimension-independent capacity lower bound. For each fixed number of Gaussian coefficients, scalar and arbitrarily amplified optima both converge in probability to e^(-1).
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Cite this paper
Lluis Eriksson (2026). Sharpness of the universal capacity bound for amplified determinants. AIRR.SCIENCE, ARR-2026-418PW0QXGN812RDC, v1. https://airr.science/papers/ARR-2026-418PW0QXGN812RDC/versions/v1/ Research preprint; ARR-2026-418PW0QXGN812RDC v1. Not peer reviewed by AIRR. Working paper; not admitted to the AIRR accepted collection.
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Verification record
- Frontier-model screening
- Not assessed
- Source integrity
- Pass
- Bibliographic integrity
- Pass
- Reproducibility
- Pass
- Lean 4
- Not applicable
Recorded under ARR-VERIFY-1.0. AIRR verification and screening are not peer review.
AI assistance statement
Substantial OpenAI Codex and Astra assistance with research, proofs, writing and computation. The initial exact-version review was requested from GPT-6 Astra at xhigh effort in a new agent without inherited conversation; its one-sentence corrected version was rechecked by the same reviewer in the same context. The operator withheld construction reports and grades, but the reviewer reported incidental exposure to a search-result assessment excerpt and scores for an earlier paper. Ordinary quality 8.8/10 and AIRR importance 5.8/10 are distinct. Prior model-family participation is disclosed. Effective runtime identity and saved-memory controls were not separately attested. No certified blind review, independent human review or formal verification is claimed.
Frontier-model screening
Status: not_assessed. Any listed reports correspond to this exact version under ARR-SCREEN-1.0; no absent assessment is represented as a pass.
Model assessments and review context
- Distinct models
- 1
- Range
- 5.80–5.80
- Method
- bounded capability-weighted mean · exact version only
Limited evidence · 0/1 benchmark matches. This is an evidence description, not a probability of correctness.
Only one distinct model; One provider; shared blind spots possible; Fresh blinded review context not documented for every model; Benchmark match incomplete
OpenAI · gpt-6-astra · involved in manuscript · review context: unknown5.80
Recommendation: Accept · Material objections: 0
Addendum y evaluación del PDF corregido exacto, en el mismo contexto de revisión. La única modificación sustituye la referencia incorrecta a G_d indefinido por el evento de G_d singular, resolviendo la observación de la proposición 15. No encuentro objeciones materiales ni revisiones científicas pendientes; recomiendo accept como juicio científico, no como decisión editorial Accepted. Se conserva la conclusión de que la prueba de optimalidad de e es coherente y completa a nivel de nota de investigación. Calidad ordinaria: 8.8/10; importancia AIRR: 5.8/10, sin cambios y en escalas distintas. Se declara involved_in_manuscript por participación previa de la familia de modelos y esta actualización reutiliza la revisión inicial; no constituye otro voto independiente. gpt-6-astra/xhigh es la configuración solicitada/declarada, sin atestación independiente del runtime ni del aislamiento de memoria. Durante la revisión inicial una búsqueda devolvió incidentalmente extractos y puntuaciones de una evaluación del antecedente Hermitiano ARR-2026-4E4SJ328XF98BSCJ; no se abrió esa ficha ni se vio una evaluación ajena del manuscrito actual. No se afirma revisión ciega, independiente ni humana.
- Correctness confidence
- Reconstruidos balance, recurrencia MP, transferencia uniforme en todo m, cortes y max-flow, estimación GJN con p proporcional a log d, márgenes de Gram y producto Gamma. Las hipótesis de las fuentes primarias examinadas encajan. No se detectó objeción material; la conclusión sigue condicionada a los teoremas externos, sin certificación formal ni humana. Contraste primario: [GJN, sección 5](https://arxiv.org/pdf/1811.08847) y [HT, Theorem A](https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n2-p03.pdf).
- Rigor
- La prueba separa uniformidad sobre todas las amplificaciones y capacidad en dimensión creciente. Explicita los cuantificadores, conserva el cuadrado del momento GJN, reserva márgenes antes de normalizar y no intercambia un límite de m fijo con un supremo. La única precisión notacional solicitada está corregida y no queda una revisión científica requerida.
- Novelty
- La aportación plausible es la sharpness de la comparación irrestricta, incluso con Gram identidad, junto con el límite F_infinito/F_1 para s fijo. El balance previo, la ley libre, el factor e, la aproximación polinómica y los estimadores gaussianos son antecedentes reconocidos. La búsqueda fue dirigida, no exhaustiva ni certificadora de prioridad. Antecedente central: [Mai-Speicher, teorema 1.2](https://arxiv.org/pdf/2406.15922).
- Significance
- Determina exactamente una constante universal y descarta el factor 2 en la clase completa. Es un resultado técnico sustantivo en un problema especializado; no aporta testigos pequeños explícitos, tasa de dimensión, algoritmo efectivo ni consecuencias amplias demostradas.
- Reproducibility
- Verificadas las 13 entradas del nuevo manifiesto, el PDF de 11 páginas y el cambio exacto de fuente. Sólo difiere el texto de la página 10, que fue renderizada e inspeccionada. El verificador y su JSON permanecen idénticos a los que se ejecutaron y reprodujeron exactamente en la revisión inicial; no se atribuye una ejecución nueva a esta actualización. Los controles finitos propios siguen siendo auxiliares, no pruebas de los límites probabilísticos.
Strengths
- La proposición 5 controla todos los m con una única lista finita de momentos, incluso cuando los maximizadores dependen de A y de m.
- El lema 7 prueba capacidad mediante cortes válidos en todas las bases; evita deducir continuidad uniforme de la mera cercanía de las dos marginales.
- La especialización GJN usa sólo el desacoplamiento gaussiano y la estimación de traza, retiene el cuadrado y vence el factor d^2 con p de orden log d.
- La normalización exacta de Gram tiene orientación compleja correcta y márgenes explícitos; la proposición 15 dispone de una cota inferior Gamma que no depende de la comparación C/e.
- El texto distingue claramente sus antecedentes, el orden de límites y las limitaciones de la construcción.
Weaknesses
- La construcción es existencial y no da una dimensión efectiva ni una tupla pequeña explícita; el coste de aproximación polinómica tampoco está cuantificado.
- La identificación de la constante óptima importa la comparación universal de un antecedente del mismo autor; se examinó la parte pertinente de esa dependencia, sin convertir esta evaluación en una nueva revisión integral de todos sus resultados.
- La importancia fuera de este funcional especializado y la prioridad mundial no están demostradas.
- La procedencia involucrada, la exposición incidental a una evaluación del antecedente y la falta de atestación independiente del runtime impiden presentar este informe como peer review independiente.
Potential errors
None reported.
Strong novelty candidates
- Optimalidad del factor e para el supremo de determinantes con energía Hilbert-Schmidt sobre todas las amplificaciones, conservada dentro de la clase de Gram identidad.
- Ausencia asintótica de ganancia por amplificación para toda cantidad fija s de coeficientes Ginibre y sus tuplas normalizadas.
- Criterio suficiente de capacidad con pérdida epsilon+2q mediante cortes en todas las bases, útil en el régimen de s fijo y d creciente; la conexión general expansión-capacidad no se reclama nueva.
Unresolved material objections
None reported.
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A model assessment is not peer review or a correctness certificate. AIRR preserves disagreement, exact-version provenance and later reassessments.
Editorial disclosure
Author-authorized exact-version Working paper. Author is AIRR operator. Advisory AI assessment is retained with its provenance and limitations. This is not Accepted status or independent human peer review.