Sharp inertia ceilings and optimal stability for inverse self-commutators
We determine the sharp worst inverse self-commutator cost for every prescribed inertia, including arbitrary ambient zeros, and quantify its extremal geometry. For unequal sign multiplicities we obtain both optimal constants relating the normalized cost deficit to distance from the one-spike, opposite-flat boundary. The reverse coefficient is also optimal for every balanced inertia. For three positive and three negative eigenvalues we close the other direction as well: the optimal forward coefficient is 17/36. Its proof reduces a piecewise-affine distance to 22 rational vertices and supplies exact Horn witnesses; a boundary spectrum gives ambient-independent sharpness. Thus every nearly extremal sequence is classified. A transportation refinement gives computable primal-dual upper certificates, while an exact example shows a 12.5% gap from the actual matrix cost. A sharp deficit threshold also reduces rank-ceiling stability to the known one-spike case. Classical Horn sufficiency is imported; all finite certificates are supplied for replay. The optimal balanced forward coefficient for multiplicity at least four and the general interior cost remain open here.
Verification record
- Frontier-model screening
- Pass · 1 models
- Source integrity
- Pass
- Bibliographic integrity
- Partial
- Reproducibility
- Pass
- Lean 4
- Not applicable
Recorded under ARR-VERIFY-1.0. ARR verification and screening are not peer review.
Version history
The ARR identifier remains stable. Each version has its own immutable release, timestamp and version identifier.
- v1 · source snapshot available · viewing
AI assistance statement
OpenAI Codex assisted with proof development, exact replay, literature comparison, typesetting and separate internal critical review. The author reviewed and approved this exact manuscript. The producing model family also supplied the declared ARR assessment, marked involved_in_manuscript and excluded from independent-model headline aggregation. No independent human editorial review is claimed.
Frontier-model screening
Status: pass. Any listed reports correspond to this exact version under ARR-SCREEN-1.0; no absent assessment is represented as a pass.
- gpt-6-astraOpenAI · reasoning effort max · pass
Independent model assessments
No eligible independent ARR-ASSESS-1.0 report is published for this exact version. Missing evidence is not scored as zero.
OpenAI · gpt-6-astra · Max · involved in manuscript4.00
Recommendation: Minor Revision · Material objections: 0
Evaluación favorable con revisiones menores de trazabilidad y bibliografía, sin objeciones materiales pendientes. Leí la fuente completa y las 15 páginas del PDF canónico, verifiqué su SHA-256 y revisé todos los argumentos y los siete programas: :codex-file-citation{path="C:/Users/lluis/Documents/Codex/2026-09-05/files-pasted-by-the-user-soy/outputs/inertia_revision3_submission/paper.pdf" purpose="source"}. Contrasté la formulación y la indexación de Horn en Fulton, sin auditar su demostración completa. Las consultas directas a los cuatro registros ARR [1,2,9,10] no pudieron recuperarse mediante la herramienta; no realicé una búsqueda amplia ni confirmé prioridad. Las comprobaciones finitas apoyan los argumentos, pero no sustituyen la prueba para todas las multiplicidades. El resumen del artículo refleja lo demostrado y declara los problemas abiertos. El modelo participó en producir el manuscrito: este contexto nuevo sigue siendo revisión interna de IA, no arbitraje humano independiente. No modifiqué el manuscrito ni los certificados bloqueados, ni publiqué ni contacté a terceros.
- Correctness confidence
- No encontré una objeción matemática material en los Teoremas 1–5. La reducción a espectros comunes, las desigualdades de estabilidad y las familias de optimalidad son consistentes; los siete replays exactos pasaron. Esta comprobación acotada no constituye una garantía formal.
- Rigor
- Las secciones 2 y 5 justifican continuidad en dimensión fija, H fijo en el borde, convexidad únicamente en la cámara ordenada y afinidad de D_* por celdas. Las cotas inferiores independientes de la dimensión y la extensión por cero sostienen la optimalidad para cada multiplicidad fija de ceros.
- Novelty
- El techo por inercia, las constantes óptimas no equilibradas y 17/36 para (3,3) son candidatos concretos y sustantivos. El manuscrito atribuye los ingredientes clásicos y los casos anteriores; esta evaluación no establece prioridad ni confirma exhaustivamente la separación respecto de los antecedentes ARR.
- Significance
- Aporta una solución precisa del problema extremo y de su estabilidad para amplias familias de inercias. El alcance es especializado: siguen abiertos el coeficiente equilibrado para N>=4 y el coste interior general.
- Reproducibility
- Leí y ejecuté los siete verificadores en copias temporales con Python 3.12. Los siete certificados regenerados coinciden byte a byte con los bloqueados. Se reprodujeron 22 vértices, 522 triples de Horn y 11.484 verificaciones racionales en cada una de las dos comprobaciones del caso (3,3), además de las identidades y ejemplos anteriores.
Strengths
- Teorema 1: la descomposición espectral comparte una cámara ordenada; el término positivo alpha_m beta_n da estrictitud, y la semicontinuidad con la fórmula de una espiga establece el supremo en cada estrato.
- Teoremas 2–3: la identidad polinómica de la sección 5.2 y sus signos cubren todas las multiplicidades no equilibradas. Sustituir la última cota de Horn por s_n>=b_n produce correctamente el coeficiente inverso (n-1)/2.
- Teorema 4: las dos triangulaciones y el corte q(a)=q(b) dan ocho celdas con D_* afín y exactamente 22 vértices. La maximización de la función convexa kappa_d+(17/36)D_* en sus vértices es válida con H=2 fijo.
- La convención de índices y la suficiencia utilizadas corresponden a las ecuaciones (8)–(10) y al Teorema 1 de [Fulton](https://arxiv.org/pdf/math/9908012). La regeneración por tableaux aporta un control distinto del generador recursivo, aunque ambos programas pertenecen al mismo proceso de revisión interna.
- En (r,p), la cota sum_j max(a_j,b_j)=31/24 coincide con el testigo superior. La perturbación de p mantiene inercia (3,3) y fuerza el cociente 17/36 para cualquier d fijo>=6.
- Teorema 5 y Corolario 5.2: se distingue correctamente el óptimo del transporte del coste matricial; el ejemplo 3/2 frente a 4/3 da exactamente un 12,5% de separación. El umbral de pureza de signo 1/2 se deduce de la estrictitud y tiene la familia límite requerida.
Weaknesses
- Conviene añadir localizadores de teorema o página para las atribuciones específicas a [1,2,9,10] y una correspondencia explícita entre enunciados actuales y certificados. La prioridad queda abierta; la imposibilidad de recuperar esos enlaces en esta revisión no demuestra que estén rotos.
- La contribución de transporte utiliza mecanismos clásicos y testigos que pueden ser subóptimos; su utilidad no equivale a una fórmula del coste general. El manuscrito reconoce adecuadamente esta limitación.
- La optimalidad equilibrada hacia delante solo queda resuelta aquí para N=2,3; la clasificación de casi extremizadores para N>=4 utiliza constantes positivas sin afirmar que sean óptimas.
Potential errors
- Discrepancia de presentación no material: stability.py y stability.json conservan la antigua constante inversa n/2 y el término n(1-a_1). Deben rotularse inequívocamente como comprobaciones históricas, para que su PASS no se confunda con una comprobación del nuevo (n-1)/2. La prueba de la sección 5.1 y sharp_stability_verify.py sostienen la mejora; no encontré un contraejemplo al enunciado actual.
Strong novelty candidates
- El coeficiente óptimo 17/36 para la estabilidad equilibrada (3,3), con certificado racional exhaustivo y optimalidad uniforme respecto de cualquier cantidad fija de ceros ambientales.
- El techo exacto (max(m,n)+1)/2 en cada estrato de inercia, su estrictitud cuando ambos signos son múltiples y la caracterización de todas las sucesiones casi extremales.
- Las dos constantes óptimas para todas las multiplicidades desiguales y el coeficiente inverso óptimo para toda multiplicidad equilibrada N>=2.
Unresolved material objections
None reported.
arr:assessment:a467e8c3-4915-4ee6-8591-27cf54e6cb4f · prompt ARR-ASSESS-1.0 · runtime identity: OpenAI gpt-6-astra · reasoning effort: max · basis: platform runtime metadata · evidence SHA-256 a8b609a19bac1fec5616ea71036e1aa9cdfe02516bee4fffbc1f83cad578a9f1 · response SHA-256 71f3c7152161127fb3ac50375fc5d50018eead7fedf3f4a494cce7af2992c87e · canonical PDF SHA-256 15b54435c01a4972af77db0277c7f99fc21afb43be3bbc56b1884b76bb53bf30
A model assessment is not peer review or a correctness certificate. ARR preserves disagreement, exact-version provenance and later reassessments.
Editorial disclosure
Author-directed founder-pilot deposit. Lluis Eriksson approved the reviewed manuscript and explicitly instructed publication after the independent-editor requirement had been disclosed. This is a record-specific exception to the ordinary founder-conflict rule in docs/GOVERNANCE.md and docs/EDITORIAL_POLICY.md. The sign-off is the conflicted author-editor's approval, not independent editorial acceptance or peer review. See DEPOSIT_DECISION.json for the exact version, evidence and scope.